Евгений Мозер начинал карьеру хоккеиста в составе клуба МХЛ “Омские ястребы”, с которым в 2013 году выиграл Кубок Харламова. Однако его выступление за взрослую омскую команду было непродолжительным. Из «Авангарда» он перешел в нижегородское “Торпедо”, где отыграл четыре сезона, а затем в московское «Динамо».
В минувшем сезоне Мозер провел 66 матчей и набрал 15 (8+7) очков при показателе полезности «-6». 31 мая 2019 года московский клуб расторг с ним контракт.